Question

【題目】已知橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,短軸兩個端點為A,B,且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形.

(1)求橢圓的方程;

(2)若C,D分別是橢圓的左、右端點,動點M滿足MD⊥CD,連接CM,交橢圓于點P.證明:為定值.

(3)在(2)的條件下,試問x軸上是否存在異于點C的定點Q,使得以MP為直徑的圓恒過直線DP,MQ的交點?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）由題意知，，，由此可知橢圓方程為；（2）設，則直線：，代入橢圓方程，得，然后利用根與系數的關系能夠推導出為定值；（3）設存在滿足條件，則，直線的斜率，直線的斜率，再由，由此可知存在滿足條件．

試題解析：（1），∴橢圓方程為：．

（2）∵，∴設，則直線的方程為：，

，

解設：或（舍去），

，∴，從而，

∴．

（3）設，若以為直徑的圓過與的交點即直線，

直線的斜率，直線的斜率，

所以，即，

∴，即．