Question

【題目】設函數f（x）=xln（ax）（a＞0）
（1）設F（x）= 2+f'（x），討論函數F（x）的單調性；
（2）過兩點A（x1 ， f′（x1）），B（x2f′（x2））（x1＜x2）的直線的斜率為k，求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ln（ax）+1，所以 ，

函數F（x）的定義域為（0，+∞），而 ．

…（2分）

①當lna≥0時，即a≥1時，恒有F′（x）≥0，函數F（x）在（0，+∞）上是增函數；

②當lna＜0，即0＜a＜1時，令F′（x）＞0，得（lna）x2+1＞0，解得 ；

令F′（x）＜0，得（lna）x2+1＜0，解得 ；

綜上，當a≥1時，函數F（x）在（0，+∞）上是增函數；

當0＜a＜1時，函數F（x）在 上為增函數，在 上為減函數．

（2）證明： = ，

要證 ，因為x2﹣x1＞0，

即證 ，令 ，則t＞1，

則只要證

①設g（t）=t﹣1﹣lnt，則 ，

故g（t）在[1，+∞）上是增函數．

所以當t＞1時，g（t）=t﹣1﹣lnt＞g（1）=0，即t﹣1＞lnt成立．

②要證 ，由于t＞1，即證t﹣1＜tlnt，

設h（t）=tlnt﹣（t﹣1），則h'（t）=lnt＞0（t＞1），

故函數h（t）在[1，+∞）上是增函數，

所以當t＞1時，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt成立．

由①②知成立，得證

【解析】（1）求出導函數的解析式，化簡F（x）= 2+f'（x），然后求解F（x）的導數，通過導函數的符號，討論函數F（x）的單調性；（2）求出過兩點A（x1 ， f′（x1）），B（x2f′（x2））（x1＜x2）的直線的斜率k的表達式，利用分析法證明 ．轉化為證明 ，通過左右兩個不等式，兩次構造函數，利用函數的導數判斷函數的單調性，利用函數的最值即可證明．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．