Question

已知函數，其中是自然對數的底數，．
(1)若，求曲線在點處的切線方程；
(2)若，求的單調區間；
(3)若，函數的圖像與函數的圖像有3個不同的交點，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）當時，的單調遞減區間為，，單調遞增區間為；當時，的單調遞減區間為；當時，的單調遞減區間為，，單調遞增區間為；（3）．

試題分析：(1) 利用導數的幾何意義求切線的斜率，再求切點坐標，最后根據點斜式直線方程求切線方程；(2)利用導數的正負分析原函數的單調性，注意在解不等式時需要對參數的范圍進行討論；(3)根據單調性求函數的極值，根據其圖像交點的個數確定兩個函數極值的大小關系，然后解對應的不等式即可．
試題解析：（1）因為
所以
所以曲線在點處的切線斜率為
又因為
所以所求切線方程為，即              2分
（2）
①若，當或時，；當時， 
所以的單調遞減區間為，
單調遞增區間為                            4分
②若，
所以的單調遞減區間為                      5分
③若，當或時，；當時，
所以的單調遞減區間為，
單調遞增區間為                            7分
（3）由（2）知函數在上單調遞減，在單調遞增，在上單調遞減
所以在處取得極小值，在處取得極大值    8分
由，得
當或時，；當時，
所以在上單調遞增，在單調遞減，在上單調遞增
故在處取得極大值，在處取得極小值       10分
因為函數與函數的圖象有3個不同的交點
所以，即，所以          12分．