Question

設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).
(1）求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；
(2）設(shè)，在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù).若存在使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

(1）b＝－3－2a , 當(dāng)a<－4時(shí)f (x) 的減區(qū)間有（－∞，3）和（―a―1，＋∞）,增區(qū)間為（3，―a―1）; 當(dāng)a>－4時(shí)f (x) 的減區(qū)間有（－∞，―a―1）和（3，＋∞）,增區(qū)間為（―a―1，3）;
(2）（0，）.

試題分析：(1）由是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),可得 ,從而就可用用表示出 來(lái)；這樣就可以用a的代數(shù)式將表達(dá)出來(lái)，令其等于零解得兩個(gè)實(shí)根，注意由已知這兩個(gè)實(shí)根應(yīng)該不等而得到：a≠－4 ，然后通過(guò)討論兩根的大小及 的符號(hào)就可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2）由（1）可求得當(dāng)當(dāng)a>0時(shí)，在區(qū)間[0，4]上的最大值和最小值，由已知也可求得在區(qū)間[0，4]上的最大值的最小值；而存在使得成立等價(jià)于，解此不等式就可求得的取值范圍.
試題解析：(1）f `(x)＝－[x<sup>2</sup>＋(a－2)x＋b－a ]e<sup>3－x</sup>,
由，得 －[3<sup>2</sup>＋(a－2)3＋b－a ]e<sup>3－3</sup>＝0，即得b＝－3－2a，
則 f `(x)＝[x²＋(a－2)x－3－2a－a ]e^3－x＝－[x²＋(a－2)x－3－3a ]e^3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e^3－x.
令f `(x)＝0，得x<sub>1</sub>＝3或x<sub>2</sub>＝－a－1，由于x＝3是極值點(diǎn)，所以，那么a≠－4.
當(dāng)a<－4時(shí)，x<sub>2</sub>>3＝x<sub>1</sub>，則
在區(qū)間（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)為減函數(shù)；
在區(qū)間（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)為增函數(shù)；
在區(qū)間（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)為減函數(shù).
當(dāng)a>－4時(shí)，x₂<3＝x₁，則
在區(qū)間（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)為減函數(shù)；
在區(qū)間（―a―1，3）上，f (x)>0，f (x)為增函數(shù)；
在區(qū)間（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)為減函數(shù).
(2）由（Ⅰ）知，當(dāng)a>0時(shí)，f (x)在區(qū)間（0，3）上的單調(diào)遞增，在區(qū)間（3，4）上單調(diào)遞減，那么f (x)在區(qū)間[0，4]上的值域是[min{f (0)，f (4) }，f (3)]，
而f (0)＝－（2a＋3）e³<0，f (4)＝（2a＋13）e^－1>0，f (3)＝a＋6，
那么f (x)在區(qū)間[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e³，a＋6].
又在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，
且它在區(qū)間[0，4]上的值域是[a²＋，（a²＋）e⁴]，
由于（a²＋）－（a＋6）＝a²－a＋＝（）²≥0，所以只需且僅須
(a²＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0<a<.
故a的取值范圍是（0，）.