Question

【題目】如圖，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，AA1=AC=CB= AB． （Ⅰ）證明：BC1∥平面A1CD；
（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連結AC1交A1C于點F，則F為AC1的中點， 又D是AB中點，連結DF，則BC1∥DF，
因為DF平面A1CD，BC1平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD．
（Ⅱ）解：因為直棱柱ABC﹣A1B1C1 ， 所以AA1⊥CD，
由已知AC=CB，D為AB的中點，所以CD⊥AB，
又AA1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB1A1 ，
設AB=2 ，則AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，
CD= ，A1D= ，DE= ，A1E=3
故A1D2+DE2=A1E2 ， 即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，
又A1C=2 ，過D作DF⊥A1C于F，∠DFE為二面角D﹣A1C﹣E的平面角，
在△A1DC中，DF= = ，EF= = ，
所以二面角D﹣A1C﹣E的余弦值cos∠DFE= = ．

【解析】（Ⅰ）通過證明BC1平行平面A1CD內的直線DF，利用直線與平面平行的判定定理證明BC1∥平面A1CD（Ⅱ）證明DE⊥平面A1DC，作出二面角D﹣A1C﹣E的平面角，然后求解二面角平面角的余弦值即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)．