Question

【題目】如圖，曲線由上半橢圓： （， ）和部分拋物線： （）連接而成， 與的公共點為， ，其中的離心率為．

（1）求， 的值；

（2）過點的直線與， 分別交于點， （均異于點， ），是否存在直線，使得以為直徑的圓恰好過點，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）.

【解析】試題分析：（1）在， 的方程中，令，可得，且， 是上半橢圓的左、右頂點，設半焦距為，由及，聯立解得；（2）由（1）知，上半橢圓的方程為，由題意知，直線與軸不重合也不垂直，設其方程為（），代入的方程，整理得： ，設點的坐標為，由根公式，得點的坐標為，

同理，得點的坐標為．由 ，即可得出的值，從而求得直線方程.

試題解析（1）在， 的方程中，令，可得，且， 是上半橢圓的左、右頂點，設半焦距為，由及可得

設半焦距為，由及可得，∴， ．

（2）由（1）知，上半橢圓的方程為，

易知，直線與軸不重合也不垂直，設其方程為（），

代入的方程，整理得： （*）

設點的坐標為，∵直線過點，∴點的坐標為，

同理，由得點的坐標為．

依題意可知，∴， ．

∵，∴，即，

∵，∴，解得，

經檢驗， 符合題意，故直線的方程為．