Question

【題目】為響應國家擴大內需的政策，某廠家擬在2016年舉行某一產品的促銷獲得，經調查測算，該產品的年銷量（即該廠的年產量）萬件與年促銷費用萬元滿足（為常數）．如果不搞促銷活動，則該產品的年銷量只能是1萬件．已知2016年生產該產品的固定投入為6萬元，每生產1萬件該產品需要再投入12萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均成本的1.5倍（成產投入成本包括生產固定投入和生產再投入兩部分）．

（1）求常數，并將該廠家2016年該產品的利潤萬元表示為年促銷費用萬元的函數；

（2）該廠家2016年的年促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？

Answer 1

【答案】（1）3， ；（2） .

【解析】試題分析：（1）利用不搞促銷活動，則該產品的年銷量只能是1萬件，可求的值；確定每件產品的銷售價格，結合廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的倍，即可求得函數解析式；（2）由（1）知： ，利用基本不等式，即可求得最值.

試題解析：（1）由題意，當時， ，代入中，得，得，

故，∴

（2）由（1）知：

由基本不等式，

當且僅當，即時等號成立，

故

答：該廠家2016年的年促銷費用投入2.5萬元時，廠家利潤最大.