Question

【題目】已知函數 ．
（1）如果a＞0，函數在區間 上存在極值，求實數a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式 恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為 ，x＞0，則 ，（1分）

當0＜x＜1時，f'（x）＞0；

當x＞1時，f'（x）＜0．

所以f（x）在（0，1）上單調遞增；在（1，+∞）上單調遞減，所以函數f（x）在x=1處取得極大值．

因為函數f（x）在區間（a，a+ ）（其中a＞0）上存在極值，

所以 解得

（2）解：不等式 ，即為 ，記 ，

所以 =

令h（x）=x﹣lnx，

則 ，∵x≥1，∴h'（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上單調遞增，∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，

從而g'（x）＞0，

故g（x）在[1，+∞）上也單調遞增，所以[g（x）]min=g（1）=2，

所以k≤2

【解析】（1）因為 ，x＞0，x＞0，則 ，利用函數的單調性和函數f（x）在區間（a，a+ ）（其中a＞0）上存在極值，能求出實數a的取值范圍．（2）不等式 ，即為 ，構造函數 ，利用導數知識能求出實數k的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值的相關知識，掌握極值反映的是函數在某一點附近的大小情況．