Question

【題目】已知，函數.

（1）當時，解不等式；

（2）若關于的方程的解集中恰有一個元素，求的值；

（3）設，若在內是減函數，對任意，函數在區間上的最大值與最小值的差不超過，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）

【解析】

（1）將不等式轉化為等價的不等式，解不等式，即可.

（2）方程變形整理為， 分類討論，當時，成立；當時，若關于的方程解集中恰有一個元素，則需，求解即可.

（3）根據在內是減函數，確定在區間上的最大值與最小值，，再根據最大值與最小值的差不超過，得不等式，對任意成立，從而轉化為關于的二次函數在的最小值大于等于，解不等式，即可.

（1）由得，，解得

（2）方程的解集中恰有一個元素，

等價于方程僅有一個解，即方程僅有一個解，

當時，，符合題意；

當時，若使得方程僅有一個解，則需，解得

綜上：或.

(3)因為在上單調遞減，

所以函數在區間上的最大值與最小值分別為與，

則，

即，對任意成立.

因為，對稱軸,

所以關于的二次函數在區間上單調遞增，

所以時， ，

則，得.

所以的取值范圍為.