Question

已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0，一條斜率等于1的直線L與圓C交于A，B兩點．
（1）求弦AB最長時直線L的方程
（2）求△ABC面積最大時直線L的方程
（3）若坐標原點O在以AB為直徑的圓內，求直線L在y軸上的截距范圍．

Answer 1

分析：（1）欲求弦AB最長時直線L的方程，依據圓的特征：圓的直徑是最長的弦，只須求出l過圓心時的方程即可；
（2）欲求△ABC面積最大時直線L的方程，因其兩腰定長，故只須頂角為直角時面積最大，最后利用點到直線的距離公式求解即可；
（3）將直線的方程代入圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系AB的中點坐標，最后利用|OM|＜

1

2

AB即可求得截距范圍，從而解決問題．

解答：解：（1）∵L過圓心時弦長AB最大，圓心坐標為（1，-2），∴L的方程為x-y-3=0（4分）
（2）△ABC的面積S=

1

2

CACBsin∠ACB=

9

2

sin∠ACB，
當∠ACB=

π

2

時，△ABC的面積S最大，
此時△ABC為等腰三角形
設L方程為y=x+m，則圓心到直線距離為

3 2

2

從而有

|1+2+m|

2

=

3 2

2

m=0或m=-6則L方程為x-y=0或x-y-6=0（8分）
（3）設L方程為y=x+b（4）
由

y=x+b x2+y2-2x+4y-4=0

⇒2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0(*)
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則A，B兩點的橫坐標為方程（*）的解，
由

△＞0 x1+x2=-b-1

⇒

-3- 26 ＜b＜-3+ 26 x1+x2=-b-1

AB的中點坐標為M(

-b-1

2

，

b-1

2

)
AB=2

9-( |3+b| 2 )2

由題意知：|OM|＜

1

2

AB⇒b²+3b-4＜0⇒-4＜b＜1（14分）

點評：本小題主要考查直線的一般式方程、直線和圓的方程的應用、點到直線的距離公式等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、函數與方程思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．