Question

【題目】已知函數.

（1）證明：為偶函數；

（2）設，若對任意的，恒成立，求實數k的取值范圍.

（3）是否存在正實數，使得在區間上的值域剛好是，若存在，請寫在所有滿足條件的區間；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）不存在這個區間，見解析

【解析】

(1)利用定義判斷函數的奇偶性，先求定義域，再推出即可證出為偶函數；

(2)通過分離參數，構造新函數和換元，轉化成二次函數求最值即可；

(3)由的解析式，可知它的單調性，求出的最大值和最小值，與題意是否矛盾，即可知是否存在.

（1）證明：由題可知的定義域為，

，根據奇偶函數定義函數為偶函數.

（2）因為所以，化簡（1）

令，設，

是方程有最大值5，時，代入（1）得到.

（3）假設存在因為

，因為是正實數，所以函數在區間遞增，

，

假設不成立，所以不存在這個區間