Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側面底面ABCD，側棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，O為AD中點.

（1）求異面直線PB與CD所成角的余弦值；

（2）線段AD上是否存在點Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，且.

【解析】

（1）由已知可證，異面直線所成的角找到，在三角形中求解即可；

（2）用體積法求得到平面的距離，然后再根據體積比求解．

（1）∵，，連接，

所以，，∴四邊形是平行四邊形，∴，

所以異面直線PB與CD所成角是或其補角．，

，是中點，則，又平面平面ABCD且平面平面ABCD，∴平面，∴，

在中，由，得，，

∴．．

∴異面直線PB與CD所成角的余弦值為；

（2）連接，由（1），是正方形，，，是正三角形，

∴．

又，

設到平面的距離為，

由得，即，，

∵，∴線段AD上存在點Q，使得它到平面PCD的距離為

且，∴．