Question

【題目】已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足到點(diǎn)的距離比到直線的距離小1．

（1）求曲線的方程；

（2）動(dòng)點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)分別作曲線的切線，切點(diǎn)為．直線是否恒過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）x2=4y；（2）直線AB過(guò)定點(diǎn)（0，2）.

【解析】試題分析：（1）由已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足到點(diǎn)的距離比到直線的距離小1，可得：動(dòng)點(diǎn)滿足到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等．利用拋物線的定義可知：點(diǎn)的軌跡是拋物線；（2）設(shè)，設(shè)切線的切點(diǎn)為，由得，利用導(dǎo)數(shù)可得，利用向量計(jì)算公式即可得出，解出，即可得出切點(diǎn)， ，進(jìn)而得到切線方程.

試題解析：(1)因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿足到點(diǎn)的距離比到直線的距離小1,所以動(dòng)點(diǎn)滿足到點(diǎn)的距離與直線的距離相等.

所以曲線是以為焦點(diǎn)為準(zhǔn)線的拋物線,所以曲線的方程是: .

(2)設(shè),切點(diǎn)為,由得,所以,所以,解得: ,所以,

,化簡(jiǎn)直線方程得: ，

所以直線恒過(guò)定點(diǎn).