Question

(本題分12分）
如圖，斜率為1的直線過拋物線的焦點，與拋物線交于兩點A、B, 將直線按向量平移得到直線,為上的動點,為拋物線弧上的動點.
(Ⅰ) 若 ,求拋物線方程.
(Ⅱ)求的最大值.
(Ⅲ)求的最小值.
 

Answer 1

（1）.  (2) .
(3)當時,的最小值為.

此題考查拋物線的定義，及向量坐標運算
（1）根據拋物線的定義得到|AB|=x₁+x₂+p=4p，再由已知條件，得到拋物線的方程；（2）設直線l的方程及N點坐標和A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用向量坐標運算，求得
的以N點坐標表示的函數式，利用二次函數求最值的方法，可求得所求的最小值.
解：（1）由條件知，則，消去得：①，則，由拋物線定義，
又因為，即，則拋物線方程為.-------------3分
(2)由(1)知和,設,則到距離:
,因在直線的同側,所以,
則,即,
由①知
所以,則當時, ,
則.----------------------8分
(3) 設,,
則,
即
由①知,,,，則,即，當時,的最小值為.
(其它方法酌情給分)-------- ------12分