Question

【題目】已知數(shù)列是首項(xiàng)的等差數(shù)列，設(shè).

（1）求證：是等比數(shù)列；

（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）在（2）的條件下，記，若對任意正整數(shù)，不等式恒成立，求整數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析.

(2) .

(3)11.

【解析】分析：(1)運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得公差，進(jìn)而得到，再由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和等比數(shù)列的定義，即可得證；

(2) 利用裂項(xiàng)相消法求和即可；

(3)根據(jù)題意，求得，設(shè)，判斷其為單調(diào)遞增，求得最小值，再由恒成立思想可得的范圍，進(jìn)而得到最大值.

詳解：（1）由及，得，所以.

因?yàn)?/span>，所以，即.

則，所以數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列.

（2）由（1），得，所以

（3）因?yàn)?/span>，

則問題轉(zhuǎn)化為對任意正整數(shù)使不等式恒成立.

設(shè)，則

.

所以，故的最小值是/.

由，得整數(shù)可取最大值為11.