Question

【題目】如圖，四棱錐，底面為矩形，平面，為的中點.

（1）證明：平面；

（2）設二面角為60°，，，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）連接輔助線構造三角形，利用三角形中位線定理證明線線平行，再通過線線平行證明線面平行；

（2）建立空間直角坐標系，通過二面角為60°，利用平面法向量求出點的坐標，再利用法向量求直線與平面所成角的正弦值.

（1）如圖，

連接，且，則在矩形中為中點，

且在中，為的中點，

∴

且平面，平面，

∴平面；

（2）如圖以為原點，以為軸，以為軸，以為軸建立空間直角坐標系，

，，

設，， ，，

∴，，

設平面、平面和平面的法向量分別為，，

則有，

∴，

令，則有，

同理可得，，

∵二面角為60°

∴，

∴，

解得，

∴，，

設與所成角為，

∴，

即直線與平面所成角的正弦值為.