Question

【題目】已知函數，

（1）求函數的單調區間；

（2）若關于的方程有實數解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) .

【解析】

（1）先利用導數研究時單調區間，再根據函數奇偶性確定時單調區間，（2）先分離變量，轉化研究對應函數值域，再利用導數研究時單調區間，根據函數奇偶性確定時單調區間，最后根據單調性確定函數值域，即得結果.

（1）函數的定義域為且關于坐標原點對稱，

，∴為偶函數，

當時，，

令 ，

令

.

所以可知：當時，單調遞減，

當時，單調遞增，

又因為是偶函數，所以在對稱區間上單調性相反，所以可得：

當時，單調遞增，

當時，單調遞減，

綜上可得：的遞增區間是：，；

的遞減區間是：，.

（2）由，即，顯然，，

可得：，令，

當時，，

.

顯然，當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增，

∴時，.

又，所以可得為奇函數，所以圖像關于坐標原點對稱，

所以可得：當時，，

∴的值域為，∴的取值范圍是.