Question

已知函數．
（Ⅰ）當時，如果函數僅有一個零點，求實數的取值范圍；
（Ⅱ）當時，試比較與1的大小；
（Ⅲ）求證：．

Answer 1

（Ⅰ）或
（Ⅱ）①當時，，即；
②當時，，即；
③當時，，即．
（Ⅲ）見解析

(I)當時，g(x)=f(x)-k有一個零點，實質是y=f(x)與直線y=k有一個公共點，所以利用導數研究y=f(x)的單調性，極值，最值，作出圖像可求出k的取值范圍.
(II)當a=2時，令,然后利用導數研究其單調區間及最值，然后再分類討論f(x)與1的大小關系.
(III)解本小題的關鍵是根據（2）的結論，當時，，即．
令，則有，從而得,問題得解.
解：（Ⅰ）當時，，定義域是，
，令，得或．  …2分
當或時，，當時，，
函數在、上單調遞增，在上單調遞減．  ……………4分
的極大值是，極小值是．
當時，；當時，，
當僅有一個零點時，的取值范圍是或．……………5分
（Ⅱ）當時，，定義域為．
令，
，    在上是增函數． ………7分
①當時，，即；
②當時，，即；
③當時，，即．……………9分
（Ⅲ）（法一）根據（2）的結論，當時，，即．
令，則有，   
． ……………12分
，．  ……………14分
（法二）當時，．
，，即時命題成立．…………………10分
設當時，命題成立，即．
時，．
根據（Ⅱ）的結論，當時，，即．
令，則有，
則有，即時命題也成立．……………13分
因此，由數學歸納法可知不等式成立．……………………14分
（法三）如圖，根據定積分的定義，

得．……11分

，

．……………………12分
，
又，，
．
．………………14分