Question

【題目】已知向量 ， ,函數(shù)的圖象過點(diǎn)，點(diǎn)與其相鄰的最高點(diǎn)的距離為.

（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）計(jì)算；

（3）設(shè)函數(shù)，試討論函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1) .(2) 2018. (3)當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上無零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn).

【解析】試題分析：(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、二倍角公式和與輔助角公式可得,根據(jù)的圖象過點(diǎn)，點(diǎn)與其相鄰的最高點(diǎn)的距離為，確定，從而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果;(2)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)及周期性可得結(jié)果；（3）,函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為函數(shù)的圖象與直線在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù).在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，幾何圖形可得結(jié)果.

試題解析：(1) 向量， ， 點(diǎn)為函數(shù)圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)， 點(diǎn)與其相鄰的最高點(diǎn)的距離為， ， 函數(shù)圖象過點(diǎn)， ， ， ，由，得， 的單調(diào)增區(qū)間是.

(2) 由（1）知的周期為，且， ，而.

(3) ,函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為函數(shù)的圖象與直線在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù).在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示，

由圖象可知，①當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的圖象與直線在上的無公共點(diǎn)，即函數(shù)無零點(diǎn)；②當(dāng)與時(shí)，函數(shù)的圖象與直線在上有一個(gè)公共點(diǎn)，即函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線在上有兩個(gè)公共點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上無零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn).