Question

有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知點A（1，0），B（2，2），C（3，0），矩陣M表示變換”順時針旋轉45°”．
（Ⅰ）寫出矩陣M及其逆矩陣M^-1；
（Ⅱ）請寫出△ABC在矩陣M^-1對應的變換作用下所得△A₁B₁C₁的面積．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
過P（2，0）作傾斜角為α的直線l與曲線E：

x=cosθ y= 2 2 sinθ

（θ為參數）交于A，B兩點．
（Ⅰ）求曲線E的普通方程及l的參數方程；
（Ⅱ）求sinα的取值范圍．
（3）（選修4-5 不等式證明選講）
已知正實數a、b、c滿足條件a+b+c=3，
（Ⅰ）求證：

a

+

b

+

c

≤3；
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）利用旋轉變換矩陣直接可以求出相應的矩陣；（Ⅱ）由于△ABC在旋轉變換下所得△A₁B₁C₁與△ABC全等，故三角形的面積不變，從而可求；
（2）（Ⅰ）利用同角三角函數的基本關系消去參數θ，可得曲線E的普通方程為 x²+2y²=1，由直線參數方程的特征可得L的參數方程；
（Ⅱ）將L的參數方程代入由線E的方程得（1+sin²α）t²+（4cosα）t+3=0，由△≥0，可得sinα的取值范圍；
（3）（I）利用柯西不等式，結合a+b+c=3，可證結論成立；
（Ⅱ）運用基本不等式，結合c=ab，可求c的最大值．

解答：（1）解：（Ⅰ）M=

cos(-45°) -sin(-45°) sin(-45°)   cos(-45°)

=

2 2 2 2 - 2 2 2 2

∵矩陣M表示變換“順時針旋轉45°”
∴矩陣M^-1表示變換“逆時針旋轉45°”
∴M^-1=

cos45° -sin45° sin45°   cos45°

=

2 2 - 2 2 2 2    2 2

（Ⅱ）三角形ABC的面積S_△ABC=

1

2

×（3-1）×2=2，
由于△ABC在旋轉變換下所得△A₁B₁C₁與△ABC全等，故三角形的面積不變，即S_△A1B1C1=2．
（2）解：（Ⅰ）曲線E的普通方程為x²+2y²=1
L的參數方程為

x=2+tcosα y=tsinα

（t為參數）                       
（Ⅱ）將L的參數方程代入由線E的方程得（1+sin²α）t²+（4cosα）t+3=0
由△=（4cosα）²-4（1+sin²α）×3≥0得sin2α≤

1

7

∴0≤sinα≤

7

7

（3）（Ⅰ）證明：由柯西不等式得(

a

+

b

+

c

)2≤(a+b+c)(1+1+1)
代入已知a+b+c=3，∴(

a

+

b

+

c

)2≤9

a

+

b

+

c

≤3
當且僅當a=b=c=1，取等號．
（Ⅱ）由a+b≥2

ab

得2

ab

+c≤3，若c=ab，則2

c

+c≤3，(

c

+3)(

c

-1)≤0，
所以

c

≤1，c≤1，當且僅當a=b=1時，c有最大值1．

點評：此題主要考查矩陣的乘法及矩陣變換的性質在圖形變化中的應用；考查把參數方程化為普通方程的方法，直線的參數方程；考查了一般形式的柯西不等式，綜合性強．