Question

下列四種說法：
①命題“?x∈R，使得x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，都有x²+1≤3x”；
②“m=-2”是“直線（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的必要不充分條件；
③在區間[-2，2]上任意取兩個實數a，b，則關于x的二次方程x²+2ax-b²+1=0的兩根都為實數的概率為1-

π

16

；
④過點（

1

2

，1）且與函數y=

1

x

圖象相切的直線方程是4x+y-3=0．
其中所有正確說法的序號是

 

．

Answer 1

分析：①中特稱命題的否定為全稱命題；
②中可先求出“直線（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充要條件，再進行判斷；
③本題考查的知識點是幾何概型的意義，關鍵是要找出（a，b）對應圖形的面積，及滿足條件“關于x的一元二次方程x²+2ax-b²+1=0有實根”的點對應的圖形的面積，然后再結合幾何概型的計算公式進行求解；
④中利用導數求解即可．

解答：解：①中命題“?x∈R，使得x²+1＞3x”為特稱命題，其否定應為全稱命題，注意量詞的變化，故①正確；
②中m=-2時，兩直線為：-2y+1=0和-4x-3=0，兩直線垂直，而兩直線垂直時，有 -

m+2

m

•(-

m-2

m+2

) =-1，解得m=1或m=-2
所以“m=-2”是“直線（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充分不必要條件；
③解：試驗的全部結果所構成的區域為{（a，b）|-2≤a≤2，-2≤b≤2}．其面積為16．
構成事件“關于x的一元二次方程x²+2ax-b²+1=0有實根”的區域為
{（a，b）|-12≤a≤2，-2≤b≤2，a²+b²-1≥0}
所以所求的概率為=1-

π

16

．故對；
④設切點為P（x₀，y₀），則函數y=

1

x

在P點處的切線的斜率為 y′|x=x0=-

1

x02

，
切線方程為：y-

1

x0

= -

1

x02

(x-x0)①，若此切線過點（

1

2

，1），
代入切線方程得 x02-2x0+

1

2

=0，解出x₀，
代入①式可求得切線方程，④錯誤
故答案為：①③

點評：本題考查命題的否定、兩直線垂直的充要條件的判斷、幾何概型、過某點的函數的切線方程等知識，考查知識點較多，綜合性較強．