Question

【題目】如圖，四棱錐的底面為直角梯形，

，平面底面，為的中點，為正三角形，是棱上的一點(異于端點).

（Ⅰ）若為中點，求證：平面；

（Ⅱ）是否存在點，使二面角的大小為30°.若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）為棱上靠近端點的四等分點，證明見解析.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)由已知條件可得四邊形為平行四邊形，進而，即得平面；（Ⅱ）建立如圖所示空間直角坐標系,利用向量法求出，進而得到存在點滿足，且為棱上靠近端點的四等分點.

試題解析：(Ⅰ)證明：如圖，連接交與點，連接

由題意知且，故四邊形為平行四邊形

∴為中點

∴在中，又由為中點有：

又面，面

∴平面.

（Ⅱ）連接，則由題意易知平面

故以為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，則

設，則

∴

記平面的法向量，平面的法向量，

則由有

令可得

又由有，即

故存在點滿足，且為棱上靠近端點的四等分點.

（其它方法酌情給分）.