Question

【題目】已知曲線C的極坐標方程是ρ=2cosθ，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數方程是 （t為參數）．
（1）求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
（2）設點P（m，0），若直線l與曲線C交于A，B兩點，且|PA||PB|=1，求實數m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由ρ=2cosθ，得：ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，即（x﹣1）2+y2=1，

∴曲線C的直角坐標方程為（x﹣1）2+y2=1．

由 （t為參數），得x= ，即x﹣ ，

∴直線l的普通方程為x﹣ ．

（2）解：將 代入（x﹣1）2+y2=1，得：（ ）2+（ ）2=1，

整理得： ，由△＞0，即3（m﹣1）2﹣4（m2﹣2m）＞0，

解得：﹣1＜m＜3．設t1，t2是上述方程的兩實根，則 ，t1t2=m2﹣2m，

又直線l過點P（m，0），由上式及t的幾何意義得|PA||PB|=|t1t2|=|m2﹣2m|=1，

解得：m=1或m=1 ，都符合﹣1＜m＜3，

因此實數m的值為1或1+ 或1﹣ ．

【解析】（1）由ρ=2cosθ，得：ρ2=2ρcosθ，由此能求出曲線C的直角坐標方程，直線l的參數方程中消去參數得到其普通方程．（2）首先把圓的極坐標方程化為直角坐標方程，把直線的參數方程中的參數t消去化為普通方程，把直線的參數方程代入圓的標準方程得到關于t的一元二次方程，由于直線與圓有兩個交點，方程有兩個實根，所以要求判別式為正，解得m的范圍，利用根與系數關系表示t1t2，利用直線的參數方程參數t的幾何意義可知|PA||PB|=|t1t2|=|m2﹣2m|=1，解出m后要求符合m的范圍即可；