Question

（本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）

設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F₁、F₂，線段OF₁、OF₂的中點分別為B₁、B₂，且△AB₁B₂是面積為的直角三角形．過Ｂ₁作直線l交橢圓于P、Q兩點．

(1) 求該橢圓的標準方程；

(2) 若，求直線l的方程；

(3) 設直線l與圓O：x²+y²=8相交于M、N兩點，令|MN|的長度為t，若t∈，求△B₂PQ的面積的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）x+2y+2=0和x–2y+2=0；（3）。

【解析】

試題分析：（1）設所求橢圓的標準方程為,右焦點為.

因△AB₁B₂是直角三角形，又|AB₁|=|AB₂|，故∠B₁AB₂=90º，得c=2b…………1分

在Rt△AB₁B₂中，，從而.………………3分

因此所求橢圓的標準方程為： …………………………………………4分

(2)由(1)知,由題意知直線的傾斜角不為0,故可設直線的方程為：,代入橢圓方程得,…………………………6分

設P(x₁, y₁)、Q(x₂, y₂)，則y₁、y₂是上面方程的兩根，因此，

，又，所以

………………………………8分

由，得=0，即，解得；  

所以滿足條件的直線有兩條,其方程分別為：x+2y+2=0和x–2y+2=0……………………10分 

(3) 當斜率不存在時，直線，此時，………………11分

當斜率存在時，設直線，則圓心到直線的距離，

因此t=，得………………………………………13分

聯立方程組：得，由韋達定理知，

，所以，

因此.

設，所以，所以…15分

綜上所述：△B₂PQ的面積……………………………………………16分

考點：橢圓的簡單性質；圓的簡單性質；直線與橢圓的綜合應用。

點評：直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．