Question

【題目】已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且tanA，tanB是關(guān)于x的方程x2+（1+p）x+p+2=0的兩個根，c=4．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵tanA，tanB是關(guān)于x的方程x2+（1+p）x+p+2=0的兩個根，

∴tanA+tanB=﹣1﹣p，tanAtanB=p+2，

∴tan（A+B）= = =1，

∴在△ABC中，A+B= ，

∴C=

（2）解：∵C= ，c=4，c2=a2+b2﹣2abcosC，

∴42=a2+b2﹣2ab×（﹣ ），整理可得：16﹣ =a2+b2，

又∵a＞0，b＞0，

∴16﹣ =a2+b2≥2ab，可得：ab≤ ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號，

∴S△ABC= absinC= ab× ≤ × = =4 ﹣4，

∴△ABC的面積的取值范圍為（0，4 ﹣4）

【解析】（1）由已知可得tanA+tanB=﹣1﹣p，tanAtanB=p+2，利用兩角和的正切函數(shù)公式可求tan（A+B）=1，可求A+B= ，利用三角形內(nèi)角和定理可求C的值．（2）由已知及余弦定理可求16﹣ =a2+b2，結(jié)合基本不等式可得ab≤ ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號，利用三角形面積公式即可得解．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了兩角和與差的正切公式和余弦定理的定義的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握兩角和與差的正切公式：；余弦定理:;;才能正確解答此題．