Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的最小值；

（Ⅱ）設（），討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅲ）若斜率為的直線與曲線交于，兩點，其中，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當時，在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，當時，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減．（Ⅲ）見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導數(shù)，由與求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性，從而可得；（Ⅱ）由已知可知，，分與分別討論導數(shù)的符號可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ），則不等式，令，只要證不等式（）即可，分別構(gòu)造函數(shù)（）與（），可證成立.

試題解析： （Ⅰ）（），……（1分）

令，得，

當時，；當時，．

則在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，…………（2分）

所以當時，函數(shù)取得最小值，且……（3分）

（Ⅱ），（），…………（4分）

當時，恒有，在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；……（5分）

當時，令，即，解得，

令，即，解得，………（6分）

綜上，當時，在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，當時，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減．………（7分）

（Ⅲ）證明：，要證明，

即證，………（8分）

等價于，令（由，知），

則只需證，由，知，故等價于（）（）……（9分）

①設（），則（），所以在內(nèi)是增函數(shù)，當時，，所以；…………（10分）

②設（），則（），所以在內(nèi)是增函數(shù)，所以當時，，即（）．……（11分）

由①②知（）成立，所以．……（12分）