Question

【題目】如果數列，，…，（m ≥ 3，）滿足：①＜＜…＜；②存在實數，，，…，和d，使得≤＜≤＜≤＜…≤＜，且對任意0 ≤ i ≤ m﹣1（I ），均有，那么稱數列，，…，是“Q數列”．

（1）判斷數列1，3，6，10是不是“Q數列”，并說明理由；

（2）已知k，t均為常數，且k＞0，求證：對任意給定的不小于3的正整數m，數列 （n＝1，2，…，m）都是“Q數列”；

（3）若數列（n＝1，2，…，m）是“Q數列”，求m的所有可能值．

Answer 1

【答案】（1）是（2）見解析（3）3或4

【解析】

（1）存在數列-1，2，5，8，11成等差，且有-1<1<2<3<5<6<10<11,所以數列1，3，6，10是“Q數列”;(2) 因為常數k > 0，，恒成立，所以數列（n = 1，2，…，m）滿足①m為任意給定的不小于3的正整數，恒成立，滿足②即可得證；（3）m=3或4時可舉出具體的數列滿足條件；當m=5時，不成立，從而當m≥5時，數列{2n}，（n=1，2，3，…，m）不可能為“Q數列”，由此求出m的所有可能取值為3或4．

（1）數列1，3，6，10是“Q數列”.因為存在數列-1，2，5，8，11成等差，且有-1<1<2<3<5<6<10<11.所以數列1，3，6，10是“Q數列”

（2）因為常數k > 0，，恒成立，所以數列（n = 1，2，…，m）滿足①.

又存在等差數列（n = 0，1，…，m），其中，

使得對任意的n = 1，2，…，m，其中m為任意給定的不小于3的正整數，

恒成立，滿足②，即證.

（3）當m = 3時，對于數列2，4，8，存在等差數列0，3，6，9滿足條件.

當m = 4時，對于數列2，4，8，16，存在等差數列-3，2，5，8，13，5，19滿足條件.

當時，若存在初數和d，使得

，且任意，均有.

則有.

所以，

所以，這與矛盾，

所以當時，數列（n = 1，2，…，m）不可能為“Q數列”.

所以m的所有可能值為3或4.