Question

【題目】如圖，已知橢圓 + =1（a＞b＞0）的上頂點為A，左右頂點為B，C，右焦點為F，|AF|=3，且△ABC的周長為14．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過點M（4，0）的直線l與橢圓相交于不同兩點P，Q，點N在線段PQ上，設λ= = ，試判斷點N是否在一條定直線上，并求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由丨AF丨2=b2+c2=a2，則a=3，

△ABC的周長為2（丨AC丨+a）=14，即 +a=7，得b2=7，

則c= = ，

橢圓的離心率為e= = ；

（2）解：方法一：顯然直線l的斜率存在，設l的方程為y=k（x﹣4），

設P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），

由 = ，得 = ，化簡得2y1y2=y0（y1+y2）①，由 消去x，得（9k2+7）y2+56ky+49k2=0，

得y1+y2=﹣ ，y1y2= ，代入①式得y0=﹣ k，由y0=k（x0﹣4），得x0= ，

λ= = =﹣1+ =﹣1+ ，由 ＜x1≤3，得0＜x1﹣ ≤ ，則λ≥﹣1+ = ，

因此，N在一條直線x= 上，實數λ∈[ ，+∞）．

【解析】（1）由丨AF丨2=b2+c2=a2 ， 則a=3，2（丨AC丨+a）=14，即可求得b的值，則c= = ，利用橢圓的離心率公式，即可求得橢圓的離心率；（2）方法一：由 = ，整理得2y1y2=y0（y1+y2），將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理，即可求得x0= ，λ= = ，利用 ＜x1≤3，即可求得實數λ的取值范圍；方法二：由 = ，整理得2y1y2=y0（y1+y2），將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理，利用求根公式，求得x0= ，λ= = ≥ ，即可求得實數λ的取值范圍；方法三：由題意可在 =λ ， =﹣λ ，根據向量的坐標運算，求得P，Q坐標，代入橢圓方程，整理求得x0= ，同方法一，即可求得即可求得實數λ的取值范圍．法二：顯然直線l的斜率存在，設l的方程為y=k（x﹣4），不妨設k＞0， 設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），N（x0 ， y0），y2＜y1 ，
由λ= = ，得λ= = ，化簡得2y1y2=y0（y1+y2）①，（6分）
由y1=λ（y0﹣y1），y2=λ（y2﹣y0），得y1+y2=λ（y2﹣y1），②，
由 消去x，得（9k2+7）y2+56ky+49k2=0，
可知△=（56k）2﹣4×（9k2+7）×49k2=49k2﹣36（1﹣k2）＞0，
得y1+y2=﹣ ，y1y2= ，y1 ， 2= ，代入①式得y0=﹣ k，由y0=k（x0﹣4），得x0= 由②式得﹣ =λ ，得λ= = ≥ ，
因此，N在一條直線x= 上，實數λ∈[ ，+∞）法三：設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），N（x0 ， y0），x2＜x1 ， 由λ= = ，
得 =λ ， =﹣λ ，∴ ， 將P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），代入橢圓程得 ，上面兩式相減化簡得x0= ，
λ= = =﹣1+ =﹣1+ ，由 ＜x1≤3，得0＜x1﹣ ≤ ，則λ≥﹣1+ = ，
因此，N在一條直線x= 上，實數λ∈[ ，+∞）．

【考點精析】認真審題，首先需要了解橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：)．