Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求在點(diǎn)處的切線方程；

（2）（i）若恒成立，求的取值范圍；

（i i）當(dāng)時(shí)，證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）；（i i）證明見解析.

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求得，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得切線方程；

（2）（i）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可容易求參數(shù)的范圍；

（i i）當(dāng)時(shí)，；結(jié)合（i）中所求，可得，再利用不等式進(jìn)行適度放縮，結(jié)合裂項(xiàng)求和，即可容易證明.

（1）因?yàn)?/span>，

故可得，

，，

所以在點(diǎn)處的切線方程為：，

即．

（2）（i）因?yàn)?/span>恒成立，

恒成立，即恒成立．

令，則，

①當(dāng)時(shí)，，所以滿足；

②當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>時(shí)，，所以不滿足；

③當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞增；

時(shí)，，單調(diào)遞減；

，解得．

所以的取值范圍為．

（i i）時(shí)，，所以．

由（i）知：，即，所以．

令，得，即，所以．

即證.