Question

正方體的棱長為1，為的中點，為線段的動點，過 的平面截該正方體所得的截面記為，則下列命題正確的是     

①當時，為四邊形        ②當時，為等腰梯形
③當時，與的交點滿足   ④當時，為六邊形
⑤當時，的面積為

Answer 1

①②③⑤

試題分析：如圖，當時，，即Q為CC₁中點，此時可得，
故可得截面APQD₁為等腰梯形，故②正確；由上圖當點Q向C移動時，滿足，只需在DD₁上取點M滿足AM∥PQ，即可得截面為四邊形APQM，故①正確；③時，如圖，
延長DD₁至N，使，連接AN交A₁D₁于S，連接NQ交C₁D₁于R，連接SR，
可證，由₁，可得，故可、
得，故正確；④由③可知當時，只需點Q上移
即可，此時的截面形狀仍然上圖所示的APQRS，顯然為五邊形，故錯誤；
⑤當時，Q與C₁重合，取A₁D₁的中點F，連接AF，可證，可知截面為APC₁F為菱形，故其面積為，故正確．