Question

【題目】設n為一個正整數，三維空間內的點集S滿足下述性質：

（1）.空間內不存在n個平面，使得點集S中的每個點至少在這n個平面中的一個平面上；

（2）.對于每個點，均存在n個平面，使得中的每個點均至少在這n個平面中的一個平面上.

求點集S中點的個數的最小值與最大值.

Answer 1

【答案】最小值為3n+1，最大值為.

【解析】

先求的最小可能值.

由于過任意三點均可以作一個平面，故.

而當3n+1個點中，任意四點不共面時，即滿足題設條件.

于是，的最小可能值為3n+1.

接下來求的最大可能值.

對于每一個，

設直線能覆蓋.

由題設知.

設.

則為一個三元n次多項式，且，.

于是，在（為次數不超過n的三元多項式的向量空間）中是線性無關的.

因此，.

下面給出集合S中有個點的例子.

如圖，設為個點構成的正四面體點陣.

則.

對于每個點，可以用n個平面覆蓋.但不能用n個平面覆蓋.

綜上，集合S中點的個數的最大值為.