Question

【題目】已知正數a，b，c滿足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，則 的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】[e，7]
【解析】解：∵4c﹣a≥b＞0
∴ ＞ ，
∵5c﹣3a≤4c﹣a，
∴ ≤2．
從而 ≤2×4﹣1=7，特別當 =7時，第二個不等式成立．等號成立當且僅當a：b：c=1：7：2．
又clnb≥a+clnc，
∴0＜a≤cln ，
從而 ≥ ，設函數f（x）= （x＞1），
∵f′（x）= ，當0＜x＜e時，f′（x）＜0，當x＞e時，f′（x）＞0，當x=e時，f′（x）=0，
∴當x=e時，f（x）取到極小值，也是最小值．
∴f（x）min=f（e）= =e．
等號當且僅當 =e， =e成立．代入第一個不等式知：2≤ =e≤3，不等式成立，從而e可以取得．等號成立當且僅當a：b：c=1：e：1．
從而 的取值范圍是[e，7]雙閉區間．