Question

【題目】 已知雙曲線的離心率，雙曲線上任意一點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的最小距離為.

（1）求雙曲線的方程.

（2）過(guò)點(diǎn)是否存在直線，使直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)？若直線存在，請(qǐng)求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在,詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）由題意，得到，聯(lián)立即得解；

（2）點(diǎn)差法得到直線l的斜率，即直線方程為，代入雙曲線的方程聯(lián)立，驗(yàn)證即可.

解：（1）由離心率，得.①

又雙曲線上任意一點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的最小距離為，則.②

由①②，解得，則，

∴雙曲線的方程為.

（2）假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)的直線，使直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn).

設(shè)，則有

兩式作差，得，即.

又點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則，

∴直線的斜率，

則直線的方程為，即，

代入雙曲線的方程，得，

，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解.

∴過(guò)點(diǎn)不存在直線，使直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn).