Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC與BD相交于點O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.

(1)求證：BD⊥平面ACFE；

(2)當直線FO與平面BED所成的角為45°時，求異面直線OF與BE所成的角的余弦值大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）由AE⊥平面ABCD得出AE⊥BD，由菱形性質得BD⊥AC，故BD⊥平面ACFE；

（2）以O為原點建立坐標系，設CF=a，求出和平面BDE的法向量，利用直線FO與平面BED所成角的大小為45°，可得，即可求出a的值．

試題解析：

(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC.

∵AE⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

∴BD⊥AE.

∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACFE.

(2)以O為坐標原點，，的方向為x軸，y軸正方向，過O且平行于CF的直線為z軸(向上為正方向)，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz，設CF＝a，則B(0，，0)，D(0，－，0)，E(1,0,2)，F(－1，0，a)(a＞0)，＝(－1,0，a)．

設平面BED的法向量為n＝(x，y，z)，

則即

令z＝1，則n＝(－2,0,1)，

由題意得sin 45°＝|cos〈，n〉|＝＝＝，

解得a＝3或a＝－.

由a＞0，得a＝3，

＝(－1,0,3)，＝(1，－，2)，

∴cos〈，〉＝＝，

故異面直線OF與BE所成的角的余弦值為.