Question

【題目】用0，1，2，3，4這五個數字組成無重復數字的自然數．

（Ⅰ）在組成的三位數中，求所有偶數的個數；

（Ⅱ）在組成的三位數中，如果十位上的數字比百位上的數字和個位上的數字都小，則稱這個數為“凹數”，如301，423等都是“凹數”，試求“凹數”的個數；

（Ⅲ）在組成的五位數中，求恰有一個偶數數字夾在兩個奇數數字之間的自然數的個數．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）共有30個符合題意的三位偶數。

（Ⅱ）共有20個符合題意的“凹數

（Ⅲ）共有28個符合題意的五位數

【解析】

試題分析：在正自然數中，零不能處在最高位，（1）偶數的個位數為偶數，所以只能為0，2，4，根據排列公式求出偶數個數即可；（2）由題意可知十位數可為0，1，2，分別從剩余的數字中取兩個進行排列；（3）5個數字中只有兩個奇數，所以可將1，3以及夾在中間的偶數看作整體，并與剩余的兩個偶數進行排列計算．

試題解析：（1）將所有的三位偶數分為兩類：

（i）若個位數為，則共有（個）；

（ii）若個位數為或，則共有（個），

所以，共有個符合題意的三位偶數．

（2）將這些“凹數”分為三類：

（i）若十位數字為，則共有（個）；

（ii）若十位數字為，則共有（個）；

（iii）若十位數字為，則共有（個），

所以，共有個符合題意的“凹數”．

（3）將符合題意的五位數分為三類：

（i）若兩個奇數數字在一、三位置，則共有（個）；

（ii）若兩個奇數數字在二、四位置，則共有（個）；

（iii）若兩個奇數數字在三、五位置，則共有（個），

所以，共有個符合題意的五位數．