Question

【題目】在矩形中，，，為線段的中點(diǎn)，如圖1，沿將折起至，使，如圖2所示．

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).

【解析】試題分析：（1）由已知條件證明出平面，根據(jù)面面垂直的判定定理證明出平面平面；（2）取BE的中點(diǎn)為,以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)且平行于的直線為軸，過(guò)點(diǎn)且平行于的直線為軸，直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，由線面垂直的性質(zhì)定理，分別求出的坐標(biāo)，求出二面角的余弦值。

試題解析：

（1）證明：在圖1中連接，則 ，，．　

∵，，∴平面，

∵平面，∴平面 平面.

（2）解：取中點(diǎn)，連接，

∵，∴，

∵平面平面，∴平面．

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)且平行于的直線為軸，過(guò)點(diǎn)且平行于的直線為軸，直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，，，

，，，．

設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，

由可得；

由可得；

則，由圖形知二面角的平面角為鈍二面角，

所以二面角的余弦值為．