Question

【題目】已知函數.

(1)當時，求證： ；

(2)設函數 ，且有兩個不同的零點 ，

①求實數的取值范圍； ②求證： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）①； ②證明見解析

【解析】試題分析：（1）構造函數，利用函數增減性求證；（2）①只需函數的極小值小于0即可；②由①知，記，分析函數的增減性，可知單調遞減，所以，轉化為即可求證.

試題解析：

（1）記，則，在上，

即在上遞減，所以，即恒成立

記，則，在上，

即在上遞增，所以，即恒成立

①，定義域： ，則

易知在遞增，而，所以在上，

在遞減，在遞增， ,

要使函數有兩個零點，則

故實數的取值范圍是

②由①知，記

當時，由①知： ，則

再由得，

，

故恒成立， 單調遞減

，即，而，

，所以，由題知， ， 在遞增，所以，即