Question

已知為平面內的兩個定點，動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=4，記點P的軌跡為曲線Γ．
（Ⅰ）求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）判斷原點O關于直線x+y-1=0的對稱點R是否在曲線Γ包圍的范圍內？說明理由．
（注：點在曲線Γ包圍的范圍內是指點在曲線Γ上或點在曲線Γ包圍的封閉圖形的內部）
（Ⅲ）設點O為坐標原點，點A，B，C是曲線Γ上的不同三點，且．試探究：直線AB與OC的斜率之積是否為定值？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用橢圓的定義可知：點P的軌跡是以為焦點，4為長軸長的橢圓． 據此即可求出．
（II）解法一：設原點O關于直線x+y-1=0的對稱點為R（m，n），利用點關于直線的對稱點的性質得，解出即可得到點R的坐標，判定是否滿足在橢圓內部的條件即可；
解法二：設原點O關于直線x+y-1=0的對稱點為R（m，n），利用點關于直線的對稱點的性質得：，解得即R（1，1）．得出直線OR的方程：y=x．與橢圓的方程聯立求出其交點G，H，判斷點R是否在線段GH上即可；
（Ⅲ）解法一：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）．利用得x₁+x₂+x₃=0，y₁+y₂+y₃=0．可設直線AB的方程為y=kx+n（k≠0），代入并整理得：（1+2k²）x²+4knx+2n²-4=0，滿足△＞0，即可得到根與系數的關系，進而得到點C的坐標，利用斜率計算公式即可判斷直線AB與OC的斜率之積是否定值；
解法二：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）．利用得x₁+x₂+x₃=0，y₁+y₂+y₃=0．因為點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），在橢圓上，所以有：，，再利用“點差法”即可判斷出結論．
解答：解：（Ⅰ）由條件可知，點P到兩定點的距離之和為定值4，
所以點P的軌跡是以為焦點的橢圓． 
又，所以．
故所求方程為．
（Ⅱ）解法一：設原點O關于直線x+y-1=0的對稱點為R（m，n），由點關于直線的對稱點的性質得：，解得即R（1，1）．
此時，
∴R在曲線Γ包圍的范圍內．
解法二：設原點O關于直線x+y-1=0的對稱點為R（m，n），
由點關于直線的對稱點的性質得：，解得即R（1，1）．
∴直線OR的方程：y=x．
設直線OR交橢圓于G和H，
由
得：或即，．
顯然點R在線段GH上．
∴R在曲線Γ包圍的范圍內．
（Ⅲ）解法一：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）．
由得x₁+x₂+x₃=0，y₁+y₂+y₃=0．
可設直線AB的方程為y=kx+n（k≠0），代入并整理得：（1+2k²）x²+4knx+2n²-4=0，
依題意，△＞0，則，y₁+y₂=k（y₁+y₂）+2n=，
從而可得點C的坐標為，．
因為．
所以直線AB與OC的斜率之積為定值．
解法二：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）．
由得x₁+x₂+x₃=0，y₁+y₂+y₃=0．
因為點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），在橢圓上，所以有：，
兩式相減，整理得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
從而有．
又x₁+x₂=-x₃，y₁+y₂=-y₃，，．
因為．
所以直線AB與OC的斜率之積為定值．
點評：本題綜合考查了橢圓的定義、標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為一元二次方程得根與系數的關系、向量的運算、斜率的計算公式、點差法、軸對稱等基礎知識與基本方法，考查了多種方法解決同一個問題、推理能力和計算能力．