Question

已知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，記點(diǎn)P的軌跡為曲線Γ．
（Ⅰ）求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C是曲線Γ上的不同三點(diǎn)，且．
（ⅰ）試探究：直線AB與OC的斜率之積是否為定值？證明你的結(jié)論；
（ⅱ）當(dāng)直線AB過點(diǎn)F₁時(shí)，求直線AB、OC與x軸所圍成的三角形的面積．

Answer 1

解：（Ⅰ）由條件可知，點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F₁（1，0），F(xiàn)₂（-1，0）的距離之和為定值，
所以點(diǎn)P的軌跡是以F₁（1，0），F(xiàn)₂（-1，0）為焦點(diǎn)的橢圓．…（2分）
又，c=1，所以b=1，
故所求方程為．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）．
由，得x₁+x₂+x₃=0，y₁+y₂+y₃=0．…（5分）
（ⅰ）可設(shè)直線AB的方程為y=kx+n（k≠0），
代入x²+2y²=2并整理得，（1+2k²）x²+4knx+2n²-2=0，
依題意，△＞0，則 ，，
從而可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為，．
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/80000.png' />，所以直線AB與OC的斜率之積為定值．…（8分）
（ⅱ）若AB⊥x軸時(shí)，，由，
得點(diǎn)C（2，0），所以點(diǎn)C不在橢圓Γ上，不合題意．
因此直線AB的斜率存在．…（9分）
由（ⅰ）可知，當(dāng)直線AB過點(diǎn)F₁時(shí)，有n=k，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．
代入x²+2y²=2得，，即4k²=1+2k²，
所以． …（11分）
（1）當(dāng)時(shí)，由（ⅰ）知，，從而．
故AB、OC及x軸所圍成三角形為等腰三角形，其底邊長為1，且底邊上的高，所求等腰三角形的面積．
（2）當(dāng)時(shí)，又由（ⅰ）知，，從而，
同理可求直線AB、OC與x軸所圍成的三角形的面積為．
綜合（1）（2），直線AB、OC與x軸所圍成的三角形的面積為．…（13分）
分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的定義，可知點(diǎn)P的軌跡是以F₁（1，0），F(xiàn)₂（-1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，進(jìn)而可得曲線Γ的方程；
（Ⅱ）將轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系．（ⅰ）設(shè)直線AB的方程代入橢圓方程并整理，利用韋達(dá)定理，確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用斜率公式可得直線AB與OC的斜率之積為定值；（ⅱ）先判斷直線AB的斜率存在，確定點(diǎn)C的坐標(biāo)代入橢圓方程，可求k的值，進(jìn)而分類求出直線AB、OC與x軸所圍成的三角形的面積．
點(diǎn)評：本小題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等．