Question

已知F₁（-1，0），F₂（1，0）為平面內的兩個定點，動點P滿足，記點P的軌跡為曲線Γ．
（Ⅰ）求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）設點O為坐標原點，點A，B，C是曲線Γ上的不同三點，且．
（ⅰ）試探究：直線AB與OC的斜率之積是否為定值？證明你的結論；
（ⅱ）當直線AB過點F₁時，求直線AB、OC與x軸所圍成的三角形的面積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據橢圓的定義，可知點P的軌跡是以F₁（1，0），F₂（-1，0）為焦點的橢圓，進而可得曲線Γ的方程；
（Ⅱ）將轉化為坐標之間的關系．（ⅰ）設直線AB的方程代入橢圓方程并整理，利用韋達定理，確定點C的坐標，利用斜率公式可得直線AB與OC的斜率之積為定值；（ⅱ）先判斷直線AB的斜率存在，確定點C的坐標代入橢圓方程，可求k的值，進而分類求出直線AB、OC與x軸所圍成的三角形的面積．
解答：解：（Ⅰ）由條件可知，點P到兩定點F₁（1，0），F₂（-1，0）的距離之和為定值，
所以點P的軌跡是以F₁（1，0），F₂（-1，0）為焦點的橢圓．…（2分）
又，c=1，所以b=1，
故所求方程為．…（4分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）．
由，得x₁+x₂+x₃=0，y₁+y₂+y₃=0．…（5分）
（ⅰ）可設直線AB的方程為y=kx+n（k≠0），
代入x²+2y²=2并整理得，（1+2k²）x²+4knx+2n²-2=0，
依題意，△＞0，則 ，，
從而可得點C的坐標為，．
因為，所以直線AB與OC的斜率之積為定值．…（8分）
（ⅱ）若AB⊥x軸時，，由，
得點C（2，0），所以點C不在橢圓Γ上，不合題意．
因此直線AB的斜率存在．…（9分）
由（ⅰ）可知，當直線AB過點F₁時，有n=k，點C的坐標為．
代入x²+2y²=2得，，即4k²=1+2k²，
所以．                   …（11分）
（1）當時，由（ⅰ）知，，從而．
故AB、OC及x軸所圍成三角形為等腰三角形，其底邊長為1，且底邊上的高，所求等腰三角形的面積．
（2）當時，又由（ⅰ）知，，從而，
同理可求直線AB、OC與x軸所圍成的三角形的面積為．
綜合（1）（2），直線AB、OC與x軸所圍成的三角形的面積為．…（13分）
點評：本小題考查橢圓的標準方程與性質、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想等．