Question

【題目】定義在R上的函數f（x）滿足：如果對任意的x1，x2∈R，都有f（），則稱函數f（x）是R上的凹函數，已知二次函數f（x）＝ax2+x（a∈R，a≠0）

（1）當a＝1，x∈[﹣2，2]時，求函數f（x）的值域；

（2）當a＝1時，試判斷函數f（x）是否為凹函數，并說明理由；

（3）如果函數f（x）對任意的x∈[0，1]時，都有|f（x）|≤1，試求實數a的范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）凹函數；見解析（3）[﹣2，0]．

【解析】

(1)根據二次函數的圖像與性質求解即可.

(2)根據凹函數的定義求解的正負判斷即可.

(3)分情況去絕對值,再參變分離求解范圍即可.

（1）當a＝1時，，

由二次函數的圖象及性質可知，，f（x）max＝f（2）＝6，即所值域為；

（2）當a＝1時，函數f（x）是凹函數，此時f（x）＝x2+x，

，，

作差得到：

，

即有f（），故函數f（x）＝x2+x是凹函數；

（3）由﹣1≤f（x）＝ax2+x≤1，則有，即，

（i）當x＝0時，則a∈R恒成立；

（ii）當x∈（0，1]時，有，即，

又x∈（0，1]，則，

∴當時，，，

∴實數a的取值范圍為[﹣2，0]．