Question

【題目】已知右焦點為F2（c，0）的橢圓C： + =1（a＞b＞0）過點（1， ），且橢圓C關于直線x=c對稱的圖形過坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點（ ，0）作直線l與橢圓C交于E，F兩點，線段EF的中點為M，點A是橢圓C的右頂點，求直線MA的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵橢圓C過點（1， ），∴ + =1，①

∵橢圓C關于直線x=c對稱的圖形過坐標原點，∴a=2c，

∴ ，②

由①②得a=2，b= ，

∴橢圓C的方程為

（2）

解：依題意，直線l過點（ ，0）且斜率不為零，故可設其方程為x=my+

聯立方程組消去x，并整理得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0

設E（x1，y1），F（x2，y2），M（x0，y0），則

∴y1+y2=﹣ ，

∴y0=﹣ ，x0= ，

∴k= ，

①當m=0時，k=0；

②當m≠0時，k= ，

∵|4m+ |=4|m|+ ≥8，∴0＜|k|≤ ，∴﹣ ≤k≤ 且k≠0．

綜合①②可知直線MA的斜率k的取值范圍是：﹣ ≤k≤ ．

【解析】（1）由橢圓C： + =1（a＞b＞0）過點（1， ），且橢圓C關于直線x=c對稱的圖形過坐標原點，求出a，b，c，橢圓方程可求；（2）線l過點（ ，0）且斜率不為零，故可設其方程為x=my+ ，和橢圓方程聯立，把MA的斜率用直線l的斜率表示，由基本不等式求得范圍．