Question

【題目】已知函數，若關于的方程有四個不相等的實數根，則實數的取值范圍是_________.

Answer 1

【答案】

【解析】

方程有四個不相等的實數根，即方程有四個不相等的實數根，則或有四個不相等的實數根，結合圖象利用分類討論與的根的情況，其中當時分別構造函數與分析，最后由轉化思想將函數有兩個零點轉化為小于0構造不等式求得答案.

方程有四個不相等的實數根，即方程有四個不相等的實數根，則或有四個不相等的實數根，

因為函數，

對方程的根分析，令，

由圖象分析可知，當時，必有一根，

當時，令，則，所以函數單調遞增，故，所以當時，方程無根，

故方程只有1個根，那么方程應有3個根，

對方程的根分析，令，

由圖象分析可知，當時，必有一根，

當時，方程應有2兩個不等的實根，其等價于方程有2個不等的實根，

令，則，且其在內有兩個零點，

顯然當，函數單調遞增，不滿足條件，則；

令，則函數在區間上單調遞減，在區間 單調遞增；

所以函數在取得極小值，同時也為最小值，，

函數若要有兩個零點，則，

綜上所述，實數的取值范圍是.

故答案為：