Question

已知直線，圓O：＝36（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），橢圓C：＝1（a＞b＞0）的離心率為e＝，直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)與橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等。
（I）求橢圓C的方程；（II）過(guò)點(diǎn)（3,0）作直線l，與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)設(shè)（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），是否存在這樣的直線l，使四邊形為ASB的對(duì)角線長(zhǎng)相等？若存在　，求出直線l的方程，若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵圓心O到直線的距離為，
直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)2a=,∴a=2,
又，解得，
∴橢圓C的方程為：;                             ………4分
（Ⅱ）∵,∴四邊形OASB是平行四邊形.
假設(shè)存在這樣的直線l,使四邊形OASB的對(duì)角線長(zhǎng)相等,
則四邊形OASB為矩形，因此有,
設(shè)A(x₁，y₂)，B(x₂，y₂)，則.                  ………7分
直線l的斜率顯然存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)（3,0）的直線l方程為：，
由，得，     
由，即.
………9分

,
由得：，滿足Δ>0.     ………12分
故存在這樣的直線l,其方程為.              ………13分

略