Question

已知二次函數+的圖象通過原點，對稱軸為，．是的導函數，且 ．
（1）求的表達式（含有字母）；
（2）若數列滿足，且，求數列的通項公式；
（3）在（2）條件下，若，，是否存在自然數，使得當時恒成立?若存在，求出最小的；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在自然數M=4，使得當n＞M時n•2ⁿ⁺¹-S_n＞50恒成立．

解析試題分析：（1）利用二次函數f（x）=ax²+bx+c的圖象通過原點，對稱軸為x=-2n，（n∈N^*）．是f（x）的導函數，且，可求f（x）的表達式（含有字母n）；
（2）由（１）可得，從而有，利用疊加法：，求出數列{a_n}的通項公式；
（3）由(2)可知，它是由一個等差數列與一個等比數列的對應項的積構成的一個新的數列，這種數列的前n項和可利用兩邊同時乘公比相減的錯位相減法求和先求出，然后就可將不等式恒成立轉化為只含n的不等式恒成立問題，即可得出結論．
試題解析：（1）由已知，可得，，         1分
∴ 解之得，       3分
                4分
（2）                      5分

=        8分
（3）
                     10分
    （1）
     （2）
（1）—（2）得：   … 12分
=，即，當時，  … 13分
，使得當時，恒成立         14分
考點：１．數列的通項與求和；2．恒成立問題；3．數列與函數的綜合．