Question

（2012•吉林二模）設函數f（x）=

1-a

2

x²+ax-lnx （a∈R）
（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）當a＞1時，討論函數f（x）的單調性．
（Ⅲ）若對任意a∈（2，3）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有ma+ln2＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定函數的定義域為（0，+∞），求導函數，確定函數的單調性，即可求得函數f （x）的極值；
（Ⅱ）求導函數，并分解，再進行分類討論，利用f′（x）＜0，確定函數單調減區間；f′（x）＞0，確定函數的單調增區間；
（Ⅲ）確定f（x）在[1，2]上單調遞減，可得f（x）的最大值與最小值，進而利用分離參數法，可得m＞

1

2

-

3

2a

，從而可求實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數的定義域為（0，+∞）．
當a=1時，f(x)=x-lnx，f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

．
令f′（x）=0，得x=1．
當0＜x＜1時，f′（x）＜0；當x＞1時，f′（x）＞0．
∴f（x）_極小值=f（1）=1，無極大值…（4分）
（Ⅱ）f′(x)=(1-a)x+a-

1

x

=

(1-a)x2+ax-1

x

=

[(1-a)x+1](x-1)

x

=

(1-a)(x- 1 a-1 )(x-1)

x

（5分）
當

1

a-1

=1，即a=2時，f′(x)=-

(x-1)2

x

≤0，f（x）在（0，+∞）上是減函數；
當

1

a-1

＜1，即a＞2時，令f′（x）＜0，得0＜x＜

1

a-1

或x＞1；令f′（x）＞0，得

1

a-1

＜x＜1．
當

1

a-1

＞1，即1＜a＜2時，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＞

1

a-1

；令f′（x）＞0，得1＜x＜

1

a-1

．（7分）
綜上，當a=2時，f（x）在定義域上是減函數；
當a＞2時，f（x）在(0，

1

a-1

)和（1，+∞）單調遞減，在(

1

a-1

，1)上單調遞增；
當1＜a＜2時，f（x）在（0，1）和(

1

a-1

，+∞)單調遞減，在(1，

1

a-1

)上單調遞增　（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當a∈（2，3）時，f（x）在[1，2]上單調遞減，
∴當x=1時，f（x）有最大值，當x=2時，f（x）有最小值．
∴|f(x1)-f(x2)|≤f(1)-f(2)=

a

2

-

3

2

+ln2
∴ma+ln2＞

a

2

-

3

2

+ln2（10分）
而a＞0經整理得m＞

1

2

-

3

2a

由2＜a＜3得-

1

4

＜

1

2

-

3

2a

＜0，所以m≥0．（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，考查恒成立問題，解題的關鍵是確定函數的最值，利用分離參數法求參數的范圍．