Question

本小題滿分12分）
如圖，已知橢圓C1的中心在原點O，長軸左、右端點M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線l⊥MN，l與C1交于兩點，與C2交于兩點，這四點按縱坐標從大到小依次為A，B，C，D.

（1）設，求與的比值；
（2）當e變化時，是否存在直線l，使得BO∥AN，并說明理由

Answer 1

（1）
（2）當時，不存在直線l，使得BO//AN；當時，存在直線l使得BO//AN

（1）因為C₁，C₂的離心率相同，故依題意可設
.
設直線分別和C₁，C₂聯立，求得.
當時，，分別用y_A，y_B表示A、B的縱坐標，可知
|BC|:AD|= 
（2）t=0時的l不符合題意，t≠0時，BO//AN當且僅當BO的斜率k_BO與AN的斜率k_AN相等，即
，
解得.
因為，又，所以，解得.
所以當時，不存在直線l，使得BO//AN；當時，存在直線l使得BO//AN.