Question

【題目】已知函數，且在和處取得極值.

（Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ）設函數，是否存在實數，使得曲線與軸有兩個交點，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 存在，且或時，曲線與軸有兩個交點

【解析】【試題分析】（1）利用兩個極值點處導數為零列方程組求解出的值.（2）化簡得出的表達式，利用導數求函數的單調區間，要使函數與軸有兩個交點，則需函數的極大值或極小值為零.由此求得的取值范圍.

【試題解析】

（Ⅰ）

因為在和處取得極值，

所以和是的兩個根，

則，解得

經檢驗符合已知條件，故.

（Ⅱ）由題意知

另得， 或，

隨著變化情況如下表所示：

由上表可知，

又取足夠大的正數時， ，

取足夠小的負數時， ，

因此，為使曲線與軸有兩個交點，結合的單調性，

得： 或

∴或

即存在，且或時，曲線與軸有兩個交點.