Question

已知圓O的方程為x²+y²=1，直線l₁過點A（3，0），且與圓O相切．
（1）求直線l₁的方程；
（2）設圓O與x軸相交于P，Q兩點，M是圓O上異于P，Q的任意一點，過點A且與x軸垂直的直線為l₂，直線PM交直線l₂于點P′，直線QM交直線l₂于點Q′．求證：以P′Q′為直徑的圓C總經過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

分析：（1）由已知中直線l₁過點A（3，0），我們可以設出直線的點斜式方程，化為一般式方程后，代入點到直線距離公式，根據直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，可以求出k值，進而得到直線l₁的方程；
（2）由已知我們易求出P，Q兩個點的坐標，設出M點的坐標，我們可以得到點P′與Q′的坐標（含參數），進而得到以P′Q′為直徑的圓的方程，根據圓的方程即可判斷結論．

解答：解：（1）由題意，可設直線l₁的方程為y=k（x-3），
即kx-y-3k=0…（2分）
又點O（0，0）到直線l₁的距離為d=

|3k|

k2+1

=1，解得k=±

2

4

，
所以直線l₁的方程為y=±

2

4

(x-3)，
即

2

x-4y-3

2

=0或

2

x+4y-3

2

=0…（5分）
（2）對于圓O的方程x²+y²=1，令x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）．
又直線l₂方程為x=3，設M（s，t），則直線PM方程為y=

t

s+1

(x+1)．
解方程組

x=3 y= t s+1 (x+1)

，得P/(3，

4t

s+1

)，
同理可得：Q/(3，

2t

s-1

)．…（9分）
所以圓C的圓心C的坐標為(3，

3st-t

s2-1

)，半徑長為|

st-3t

s2-1

|，
又點M（s，t）在圓上，又s²+t²=1．故圓心C為(3，

1-3s

t

)，半徑長|

3-s

t

|．
所以圓C的方程為(x-3)2+(y-

1-3s

t

)2=(

3-s

t

)2，…（11分）
即(x-3)2+y2-

2(1-3s)y

t

+

(1-3s)2

t2

-

(3-s)2

t2

=0
即(x-3)2+y2-

2(1-3s)y

t

+

8(s2-1)

t2

=0，
又s²+t²=1
故圓C的方程為(x-3)2+y2-

2(1-3s)y

t

-8=0
所以圓C經過定點，y=0，則x=3±2

2

，
所以圓C經過定點且定點坐標為(3±2

2

，0)（15分）

點評：本題考查的知識是直線和圓的方程的應用，其中熟練掌握直線與圓不同位置關系時，點到直線的距離與半徑的關系，弦長公式等是解答本題的關鍵．