Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2+ax+b2=0．

（1）若a是從0，1，2，3四個數中任取的一個數，b是從0，1，2三個數中任取的一個數，求上述方程有實根的概率；

（2）若a是從區間[0，3]上任取的一個實數，b是從區間[0，2]上任取的一個實數，求上述方程有實根的概率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）先用列舉法求得基本事件的總數，根據判別式為非負數求得的關系式，由此判斷出符合題意的事件有個，進而求得所求的概率.（2）判別式為非負數求得的關系式，畫出全部結果所構成的區域，利用幾何概型的計算公式，計算出所求的概率.

（1）若a是從0，1，2，3四個數中任取的一個數，b是從0，1，2三個數中任取的一個數，

則基本事件共12個，分別為：

（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），

（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．

設事件A為“方程x2+ax+b2=0有實根”，則判別式Δ=a2–4b2≥0，即a≥2b，

若a=0，則b=0；若a=1，則b=0；

若a=2，則b=0或b=1；若a=3，則b=0或b=1．

共包含6個基本事件，則所求的概率P1=．

（2）記事件B為“方程x2+ax+b2=0有實根”．由Δ=a2–4b2≥0，且非負，得a≥2b，

全部結果所構成的區域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，其面積為S=3×2=6．

構成事件A的區域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥2b}，

則D（3，），其面積為S′=×3×=，

所以所求的概率P2==．